Un círculo, en geometría, es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que una cantidad constante, llamada radio. En otras palabras, es la región del plano delimitada por una circunferencia y que posee un área definida

triangulo

Teorema del Cateto

Considerando de nuevo el triángulo ADC:

y aplicando Pitágoras:   b² = h² + m²
Por el teorema de la altura, que acabamos de demostrar, se cumple:   h² = mn
Y sustituyendo la segunda expresión en la primera, se obtiene:

b² = m n + m²   ⇒   b² = m (n + m) = m a   ⇒   b² = m a

Considerando ahora el triángulo ADB:

y aplicando Pitágoras:   c² = h² + n²
Por el teorema de la altura, que acabamos de demostrar, se cumple:   h² = mn
Y sustituyendo la segunda expresión en la primera, se obtiene:

c² = mn + n²   ⇒   c² = n(m + n) = na   ⇒   c² = na

Ambos resultados:

b² = mac²;     c²= na

Se conocen con el nombre de Teorema del cateto que se enuncia de la siguiente forma:

"El cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del cateto sobre la hipotenusa"

Teorema de la Altura

Sea un triángulo rectángulo, cuyos catetos denotaremos por "b" y "c", siendo "a" la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y "h" la altura del triángulo sobre la hipotenusa:

De las tres alturas que tiene un triángulo rectángulo, dos de ellas son los catetos; y la tercera,  la altura sobre la hipotenusa, está relacionada con los lados del triángulo por la siguiente relación:

"El producto de los dos catetos, de un triángulo rectángulo, coincide con el producto de la hipotenusa por la altura sobre ella"

En efecto:
La expresión del área de un triángulo ("área igual a base por altura dividido entre dos") vamos a aplicarla dos veces al triángulo rectángulo ABC.

• Considerando un cateto como base (el otro sería la altura correspondiente)

• Considerando la hipotenusa como base, se tiene la siguiente igualdad:

Luego, igualando ambas expresiones, se obtiene:
El teorema de la altura nos da otra relación:  la relación entre la altura sobre la hipotenusa y las proyecciones de los catetos sobre la misma:
Denotaremos por "h" la altura del triángulo sobre la hipotenusa y por  "m", "n" a las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

A parte del triángulo ABC, que por definición es rectángulo, al trazar la altura sobre la hipotenusa, aparecen dos nuevos triángulos rectángulos (por ser la altura perpendicular a la base), a saber, ADC y ADB.

Aplicamos Pitágoras al ADC   ⇒   b² = h² + m²
Aplicamos Pitágoras al ADC   ⇒   c² = h²+ n²
Además, dado que ABC era un triángulo rectángulo, aplicando de nuevo Pitágoras   ⇒   a² = b² + c²
Sustituyendo en la última expresión b² y c² por las expresiones obtenidas anteriormente, resulta:

a² = b² + c² = (h² + m²) + (h² + n²) = 2h² + m² +n²

Por otra parte, a = m + n, de donde:

a² = (m + n)² = m² + n² + 2nm

Igualando ambas expresiones equivalentes a a²:

2h² + m² + n² = m² + n² + 2nm   ⇒   2h² = 2 mn   ⇒   h² = mn

El resultado anterior se conoce con el nombre de Teorema de la Altura, y se enuncia de la siguiente manera

"En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa"

Teorema de Pitágoras

Este teorema, enunciado por el matemático griego Pitágoras en el siglo V a.C., es uno de los resultados más conocidos e importantes de la geometría y posee gran cantidad de aplicaciones tanto en distintas partes de las matemáticas como en situaciones de la vida diaria.
El teorema se aplica a los triángulos rectángulos, y dice los siguiente:

"En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"

Si llamamos "a" a la hipotenusa de un triángulo rectángulo y "b", "c" a los catetos   ⇒   a²=b²+c²
A los grupos de tres números "a", "b" y "c" que verifican a²=b²+c² se les llama "ternas pitagóricas"
Gráficamente, el teorema de Pitágoras se expresa de la forma siguiente:

"En un triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa, es la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos"

El teorema de Pitágoras es sencillo de probar, y tiene muchas demostraciones de diversos tipos, pero la más sencilla puede ser la siguiente:
Mira las dos figuras siguientes:

Ambas son dos cuadrados de lado (b+c), y en las dos puedes ver que aparecen cuatro triángulos rectángulos de lados "a", "b" y "c", en color rosa todos ellos.
Eso quiere decir, que las partes restantes en cada uno de los cuadrados de lado (b+c) deben tener el mismo área.

=

En el primero, la parte restante son los cuadrados amarillo y azul, de áreas b² y c²; en el segundo el cuadrado verde, de área a². Esas áreas deben ser iguales, es decir:

a² = b² +c ²

Criterios de Igualdad de triángulos

Dos triángulos son iguales cuando tienen sus tres lados de la misma longitud y sus tres ángulos iguales.
Para ver si dos triángulos son iguales basta con comprobar la igualdad de parte de sus elementos. Esos elementos vienen determinados por los criterios de igualdad de triángulos, que son las condiciones mínimas que se deben cumplir para que dos triángulos sean iguales.

CRITERIO 1:

"Dos triángulos son iguales si tienen iguales sus tres lados"

CRITERIO 2:

"Dos triángulos son iguales si tienen iguales dos lados y el ángulo que forman dichos lados"

CRITERIO 3:

"Dos triángulos son iguales si tienen iguales un lado y los dos ángulos contiguos a él".

Utilizando estos criterios, podemos demostrar la siguiente propiedad:

Propiedad 4:

"La recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralela al tercer lado e igual a su mitad, y se llama paralela media correspondiente al tercer lado".

Vamos a demostrar el resultado para una de las paralelas medias, por ejemplo, para la NM. Para ello, tendremos que justificar que la paralela al lado BC, que pasa por el punto medio del lado AB, corta al lado AC en su punto medio y además, es la mitad del lado BC.
Sea N el punto medio del lado AB:
Trazamos la paralela al lado BC por N, y sea M el punto donde dicha paralela corta al lado AC. Por dicho punto, M, trazamos la paralela al lado AB, y llamamos P al punto donde dicha paralela corta al lado BC.
Con esta construcción, se han formado dos triángulos, a saber: ANM y MPC. Dichos triángulos son iguales, por el criterio 3 de igualdad de triángulos. Veámoslo:

Un lado igual:

AN = NB (por ser N el punto medio de AB) y NB = MP (por ser segmentos paralelos entre paralelas), luego: AN = MP

Los dos ángulos contiguos iguales:

Los ángulos contiguos al lado AN, pintados de verde y azul, son respectivamente iguales a los ángulos contiguos al lado MP, pues en ambos casos se trata de dos ángulos agudos de lados respectivamente paralelos.

Luego, los triángulos ANM y MPC  son iguales, y por lo tanto, tienen iguales sus tres lados. En particular:

• AM = MC⇒M es punto medio del lado AC ⇒La paralela media de AB pasa por el punto medio del lado AC
• CP = MN = BP⇒CP = PB⇒CP=½ BC⇒La paralela media CP es la mitad del lado BC

Clasificación de triángulos

La clasificación de triángulos se hace atendiendo a dos criterios:

1. Atendiendo a sus lados:
   
   • Escalenos (los tres lados distintos) 
   • Isósceles (dos lados iguales y otro desigual) 
   • Equilátero (los tres lados iguales) 

2. Atendiendo a sus ángulos:
   
   • Rectángulos   (si tiene un ángulo recto)  
   • Acutángulos   (si los tres ángulos son agudos)  
   • Obtusángulos (si tiene un ángulo obtuso)

Además, si recordamos que la suma de los tres ángulos de un triángulo SIEMPRE suma 180º, se deduce lo siguiente:

1. En un triángulo rectángulo, los otros dos ángulos (a parte del recto) tienen que ser agudos.
2. En un triángulo obtusángulo, los otros dos ángulos (a parte del obtuso) tienen que ser agudos.

O dicho de otra forma:
Todo triángulo tiene que tener siempre DOS ángulos AGUDOS, pudiendo ser el tercero:

• AGUDO    (en cuyo caso el triángulo será acutángulo)
• RECTO      (en cuyo caso el triángulo será rectángulo)
• OBTUSO   (en cuyo caso el triángulo será obtusángulo)

Propiedad 3:

"El triángulo equilátero, es también equiángulo" (los tres ángulos son iguales, y por tanto, de 60º cada uno)
"En el triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos, catetos".
"Un triángulo rectángulo isósceles tiene un ángulo recto y sus catetos iguales, luego los ángulos agudos también son iguales, e iguales a 45º"