Teorema de la Altura

Sea un triángulo rectángulo, cuyos catetos denotaremos por "b" y "c", siendo "a" la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y "h" la altura del triángulo sobre la hipotenusa:

De las tres alturas que tiene un triángulo rectángulo, dos de ellas son los catetos; y la tercera,  la altura sobre la hipotenusa, está relacionada con los lados del triángulo por la siguiente relación:

"El producto de los dos catetos, de un triángulo rectángulo, coincide con el producto de la hipotenusa por la altura sobre ella"

En efecto:
La expresión del área de un triángulo ("área igual a base por altura dividido entre dos") vamos a aplicarla dos veces al triángulo rectángulo ABC.

• Considerando un cateto como base (el otro sería la altura correspondiente)

• Considerando la hipotenusa como base, se tiene la siguiente igualdad:

Luego, igualando ambas expresiones, se obtiene:
El teorema de la altura nos da otra relación:  la relación entre la altura sobre la hipotenusa y las proyecciones de los catetos sobre la misma:
Denotaremos por "h" la altura del triángulo sobre la hipotenusa y por  "m", "n" a las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

A parte del triángulo ABC, que por definición es rectángulo, al trazar la altura sobre la hipotenusa, aparecen dos nuevos triángulos rectángulos (por ser la altura perpendicular a la base), a saber, ADC y ADB.

Aplicamos Pitágoras al ADC   ⇒   b² = h² + m²
Aplicamos Pitágoras al ADC   ⇒   c² = h²+ n²
Además, dado que ABC era un triángulo rectángulo, aplicando de nuevo Pitágoras   ⇒   a² = b² + c²
Sustituyendo en la última expresión b² y c² por las expresiones obtenidas anteriormente, resulta:

a² = b² + c² = (h² + m²) + (h² + n²) = 2h² + m² +n²

Por otra parte, a = m + n, de donde:

a² = (m + n)² = m² + n² + 2nm

Igualando ambas expresiones equivalentes a a²:

2h² + m² + n² = m² + n² + 2nm   ⇒   2h² = 2 mn   ⇒   h² = mn

El resultado anterior se conoce con el nombre de Teorema de la Altura, y se enuncia de la siguiente manera

"En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa"