Criterios de Igualdad de triángulos

Dos triángulos son iguales cuando tienen sus tres lados de la misma longitud y sus tres ángulos iguales.
Para ver si dos triángulos son iguales basta con comprobar la igualdad de parte de sus elementos. Esos elementos vienen determinados por los criterios de igualdad de triángulos, que son las condiciones mínimas que se deben cumplir para que dos triángulos sean iguales.

CRITERIO 1:

"Dos triángulos son iguales si tienen iguales sus tres lados"

CRITERIO 2:

"Dos triángulos son iguales si tienen iguales dos lados y el ángulo que forman dichos lados"

CRITERIO 3:

"Dos triángulos son iguales si tienen iguales un lado y los dos ángulos contiguos a él".

Utilizando estos criterios, podemos demostrar la siguiente propiedad:

Propiedad 4:

"La recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralela al tercer lado e igual a su mitad, y se llama paralela media correspondiente al tercer lado".

Vamos a demostrar el resultado para una de las paralelas medias, por ejemplo, para la NM. Para ello, tendremos que justificar que la paralela al lado BC, que pasa por el punto medio del lado AB, corta al lado AC en su punto medio y además, es la mitad del lado BC.
Sea N el punto medio del lado AB:
Trazamos la paralela al lado BC por N, y sea M el punto donde dicha paralela corta al lado AC. Por dicho punto, M, trazamos la paralela al lado AB, y llamamos P al punto donde dicha paralela corta al lado BC.
Con esta construcción, se han formado dos triángulos, a saber: ANM y MPC. Dichos triángulos son iguales, por el criterio 3 de igualdad de triángulos. Veámoslo:

Un lado igual:

AN = NB (por ser N el punto medio de AB) y NB = MP (por ser segmentos paralelos entre paralelas), luego: AN = MP

Los dos ángulos contiguos iguales:

Los ángulos contiguos al lado AN, pintados de verde y azul, son respectivamente iguales a los ángulos contiguos al lado MP, pues en ambos casos se trata de dos ángulos agudos de lados respectivamente paralelos.

Luego, los triángulos ANM y MPC  son iguales, y por lo tanto, tienen iguales sus tres lados. En particular:

• AM = MC⇒M es punto medio del lado AC ⇒La paralela media de AB pasa por el punto medio del lado AC
• CP = MN = BP⇒CP = PB⇒CP=½ BC⇒La paralela media CP es la mitad del lado BC